DAVID HILBERT
(Wehlan, actual Alemania, 1862 - Gotinga, id., 1943)
Matemático alemán. Su padre era juez, y fue destinado al poco de su
nacimiento a Königsberg, donde David recibió su educación y en cuya
universidad inició los estudios de matemáticas. Estudió también en las
universidades de Heidelberg y de Berlín, asistiendo en esta última a los
cursos de Weierstrass, Kummer, Helmholtz y Kronecker.
A finales de 1884 se doctoró en Königsberg, poco
antes de que hiciera lo propio su amigo Hermann Minkowski. La tesis de
Hilbert trataba de los invariantes algebraicos, un tema que le propuso
su joven profesor F. Lindemann, quien dos años antes había demostrado
que «pi» es un número trascendente.
Viajó
después a Leipzig, donde asistió a las clases de Felix Klein, y a París,
donde conoció a Henri Poincaré, Camille Jordan y Charles Hermite. De
regreso a Königsberg, en 1886 inició allí su carrera académica como privatdozent;
siete años más tarde, cuando Lindemann marchó a Berlín, Hilbert accedió
al cargo de profesor ordinario por recomendación de Klein, por entonces
profesor en Gotinga; a esta universidad se incorporó también Hilbert en
1895, de nuevo por intervención de Klein, y en ella desarrolló el resto
de su carrera profesional.
En Gotinga centró su atención en la geometría,
tratando de plasmar en ese nuevo interés una idea que alimentaba desde
mucho antes: lo importante no es la naturaleza de los objetos
geométricos, sino la de sus interrelaciones. En su obra de 1899,
dedicada a proporcionar a la geometría euclidiana una fundamentación
estrictamente axiomática y que ha ejercido una gran influencia sobre el
desarrollo de la matemática en el siglo XX, realizó el primer esfuerzo
sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter
puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis
matemático.
En el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en
París en 1900, Hilbert presentó una lista de veintitrés problemas que a
la sazón no habían sido resueltos todavía; a su juicio, las probables
líneas de desarrollo que iba a seguir la matemática del siglo XX habrían
de estar en buena medida vinculadas a la resolución de dichas
cuestiones. Sus trabajos posteriores desembocaron en la concepción de
los espacios de infinitas dimensiones llamados espacios de Hilbert, base
del moderno análisis funcional.
A partir del año 1904, empezó a desarrollar un programa
para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría
de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática.
Aunque su propósito de demostrar la consistencia de la aritmética había
de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por Kurt Gödel,
el programa de formalización de Hilbert contribuyó al desarrollo de la
llamada metamatemática, como método para establecer la consistencia de
cualquier sistema formal.
Problemas sigo XX-
1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. ¿Cuál es el cardinal del continuo?
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética. ¿Son compatibles los axiomas de la aritmética?
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la
línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier
superficie, en cualquier geometría?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de
transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que
definen el grupo.
6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.
8. El problema de la distribución de los números primos.
9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.
21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales
lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo
monodrómico.
22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones
automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación
algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una
variable.
23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.
Aportaciones matemáticas-
Como ya se ha comentado, Hilbert fue uno de los matemáticos más
influyentes para el desarrollo de esta disciplina en el siglo XX.
Estableció el teorema
fundamental de la teoría de invariantes y las bases de la axiomatización
de la geometría. Además construyó los cimientos de ramas de la
Matemática en
donde se iban a asentar teorías físicas importantes como el germen de
los espacios de Hilbert que desarrolló Von Neumann para la Mecánica Cuántica
o las ecuaciones de campo que desarrolló Einstein para la Relatividad General.
Pero la más conocida contribución de Hilbert a las Matemáticas fue su
famosa conferencia de 1900 en donde propuso una serie de problemas que
dieron lugar
a muchos de los desarrollos matemáticos más importantes del siglo XX,
algunos de ellos sin resolver aún.
Andrew Wiles
Matemático inglés, nacido en Cambridge el 11 de abril de 1953, cuyo
gran logro fue encontrar la demostración del famoso último teorema de
Fermat. Desde pequeño, Andrew Wiles se vio atraído por la simplicidad y
facilidad de comprensión de un enunciado que había traído de cabeza a
infinidad de matemáticos de todos los tiempos y del que no se había
conseguido demostrar más que resultados parciales, el famoso "último
teorema de Fermat".
En 1971 Wiles ingresó en el Merton College de
Oxford para realizar sus estudios universitarios, que culminó en 1974.
De allí pasó al Clare College en Cambrige para preparar -bajo la
supervisión de John Coates- su tesis doctoral, que curiosamente no versó
sobre nada que tuviera que ver con la popular conjetura de
Fermat;
por aquel entonces, Wiles consideraba que intentar demostrar este
teorema podía suponer un trabajo tan largo y arduo como infructuoso. En
1980 consiguió doctorarse, después de tres años como profesor asistente
de Benjamin Pierce en la Universidad de Harvard (Estados Unidos).
Tras
permanecer un tiempo el Sonderforschungsbereich Theoretische Mathematik
de Bonn, a finales de 1981 volvió a los Estados Unidos para ocupar un
puesto en el Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de
Princeton, donde al poco tiempo se le propuso ocupar un puesto de
profesor titular. Gracias a una beca Guggenheim pudo visitar el Institut
des Hautes Etudes Scientique de París y la École Normale Supériéure de
la misma ciudad (1985-1986). En 1988 volvió a su país para ocupar
durante dos años el puesto de catedrático de la Royal Society Research
en la Universidad de Oxford, y un año después de su llegada fue nombrado
miembro de la Royal Society.
El rumbo profesional de Andrew Wiles
sufrió un cambio drástico en 1987, cuando supo que Ken Ribet había
demostrado que el último teorema de Fermat era una consecuencia de la
conjetura sobre curvas elípticas que Shimura y Taniyama habían enunciado
años antes. A partir de entonces abandonó todas las investigaciones que
estaba realizando para dedicarse por completo a la demostración de la
conjetura de Shimura-Taniyama y, en consecuencia, a la tan deseada
prueba del enunciado de Fermat. Tras siete años de intenso trabajo, el
primer intento de demostración lo presentó en una serie de lecturas
realizadas en el Instituto Isaac Newton de Cambridge el 23 de Junio de
1993. Tras la lectura final, Wiles anunció que había probado el último
teorema de Fermat, algo que aún no era cierto, pues tras la publicación
de los resultados obtenidos por Wiles y el exhaustivo análisis por parte
de la comunidad matemática terminaron por encontrarse algunos errores e
incosistencias.
El intento fallido supuso una gran frustración en
Andrew Wiles y una negativa rotunda a continuar con su trabajo. Esta
postura cambió gracias a R. Taylor, un estudiante que alentó a Wiles
para que continuara el camino que había empezado e intentase resolver
los errores que contenía su anterior demostración. Finalmente, y con la
principal ayuda de el propio Taylor el 19 de Septiembre de 1994 solventó
definitivamente los problemas y llegó a una demostración definitiva: "
de
pronto, de manera totalmente inesperada, tuve esta increíble
revelación. Fue el momento más importante de mi vida profesional. Nada
que vuelva a hacer [..]
será tan indescriptiblemente hermoso, era
tan simple y elegante, que estuve veinte minutos sin podérmelo creer,
durante todo ese día estuve dando vueltas por el departamento. Volvía
una y otra vez a mi mesa y seguía estando allí"
En 1994 Wiles
fue nombrado "Catedrático Eugene Higgins" de matemáticas en Princeton y
un año después su trabajo fue publicado en
Annals of Mathematics.
A partir de entonces comenzó a recibir una gran cantidad de
distinciones como consecuencia de su extraordinaria labor en torno a tan
esperada demostración matemática. Fue galardonado con el "Premio
Schock" y la Academia Real de Ciencias de Suecia le otorgó el "Premio
Fermat de la Université Paul Sabatier". Además recibió, en 1996 el
"Premio Wolf" y fue elegido miembro extranjero de la Academia Nacional
de Ciencias de los Estados Unidos. A título especial, en 1998 fue
galardonado con la Medalla Fields, el equivalente al Premio Nobel en
matemáticas, aunque es tradición que quien recibe esta distinción no
sobrepase la edad de cuarenta años.
EL teorema de Fermat-
Hace algún tiempo habiamos hablado de el último
teorema de Fermat mediante un singular desafio,
el desafio del último teorema de Fermat que ni el diablo pudo
resolver del libro de cuentos de Arhtur Poges vimos como un inteligente
y astuto Simon Flag pacta con el diablo entregarle su alma en un plazo de 24
horas si éste (el diablo) era capáz de decirle con total certeza si es o no es
verdad el último teorema de Fermat. Pasadas las 24 horas regresa el diablo y le
dice a Flag "
tu ganas Simon, ni siquiera yo soy capaz en tan poco
tiempo de aprender las matemáticas necesarias para tan complicado problema, pues
mientras más lo analizo mas dificil se torna"
Bueno, el diablo no pudo resolverlo en 24 horas
(y perdio su apuesta) pero en 1995 Sir Andrew Wiles, un matemático inglés si
pudo hacerlo, en muchisimo más que 24 horas, claro está (7 años para ser exacto
fue lo que le llevó a Wiles demostrar la veracidad del teorema) no sin antes
utilizar complejos procedimientos matemáticos y sofisticadas herramientas de
análisis numérico con las cuales poco a poco construyó una demostración
completa de 98 paginas. (Wiles literalmente se encerró en su casa y trabajo
arduamente en un problema que frustró a matemáticos por mas de 300 años desde
la muerte de Fermat en 1665)
En esta oportunidad hecharemos un vistazo al
trabajo de Sir Andrew Wiles, la demostración del último teorema de Fermat que
le valio un lugar en la historia de la ciencia en un documental subtitulado que
relata resumidamente el trabajo metódico de Wiles y otros matemáticos que
contribuyeron con este objetivo.
Luego los invito a leer una sencilla pero objetiva
biografía de Pierre de Fermat, un jurista de profesión y matemático de afición
que entre otros trabajos que realizó le valieron un lugar en la historia de
ésta diciplina.
El
último teorema de Fermat
(llamado así por ser el último de los resultados que a Fermat se atribuía pero
no había sido demostrado) afirma que si
n > 2, entonces la
ecuación
xn + yn = zn
no tiene soluciones enteras positivas. Cuando n = 2, se tiene el teorema de
Pitágoras y a los enteros que lo cumplen se les conoce como 'ternas
pitagoricas'. Por ejemplo, 3
2 + 4
2 = 5
2.
Vida personal-(Clermont-Ferrand, Francia, 1623-París, 1662) Filósofo, físico y
matemático francés. Su madre falleció cuando él contaba tres años, a
raíz de lo cual su padre se trasladó a París con su familia (1630). Fue
un genio precoz a quien su padre inició muy pronto en la geometría e
introdujo en el círculo de Mersenne, la Academia, a la que él mismo
pertenecía. Allí Pascal se familiarizó con las ideas de Girard Desargues
y en 1640 redactó su Ensayo sobre las cónicas (Essai pour les coniques), que contenía lo que hoy se conoce como teorema del hexágono de Pascal.